Berbagi ilmu dan informasi: belajar online

Tampilkan postingan dengan label belajar online. Tampilkan semua postingan

Selasa, 12 Desember 2017

MENCARI RESULTAN DENGAN PENJUMLAHAN VEKTOR

VEKTOR

BESARAN VEKTOR

A. Menjumlahkan Besaran vektor

a. Secara Grafis

1. Metode Poligon

Penjumlahan vektor menggunakan cara poligon dilakukan dengan menggambarkan vektor-vektor yang garis nya digabungkan secara berurutan (diteruskan). Kemudian Vektor jumlahnya (Resultannya) digambarkan dengan menarik garis dari titik awal menuju titik akhir. (seperti pada gambar)

(Source : pelajaransains.blogspot.co.id)

2. Metode Jajaran genjang

Penjumlahan vektor menggunakan metode jajaran genjang dibuat dengan cara menggambarkan garis-garis vektor yang akan digabungkan dari titik awal yang sama, kemudian buatlah garis yang sejajar dengan vektor (dibuat dengan garis putus-putus) diambil dari kedua ujung vektor yang digabungkan sehingga didapat titik potong dan membentuk jajar genjang. Tahap terakhir gambarlah Vektor Jumlah (resultan) nya dengan menarik garis dari titik awal menuju titik potong garis yang dibuat putus-putus titik. (seperti pada gambar di bawah)

(Source: pelajaransains.blogspot.co.id)

b. Secara Analitis (Perhitungan)

1. Jika arah vektornya sama

Resultan vektor yang memiliki arah sama dapat langsung dihitung dengan cara menjumlahkan besar dari masing-masing vektor yang digabungkan.

R = V₁ + V₂

2. Jika arah vektornya berlawanan

Resultan vektor yang memiliki arah saling berlawanan dihitung dengan cara mencari selisih nilai dari kedua vektor yang digabungkan.

R = V₁ - V₂

3. Jika vektornya membentuk sudut tertentu

Resultan atau jumlah dari vektor yang arah vektornya membentuk sebuah sudut tertentu dapat dicari menggunakan rumus di bawah ini:

Contoh Soal :

Dua buah gaya memiliki nilai dengan besar masing-masing 30 N dan 50 N. Berapa resultan kedua vektor tersebut jika :

a. kedua vektor searah !

b. kedua vektor berlawanan arah !

c. kedua vektor saling mengapit sudut 60° !

Jawab

Diketahui : F_a = 30 N

F_b = 50 N

Ditanyakan : a) R = ? (searah)

b) R = ? (berlawanan arah)

c) R = ? α = 60°

a) R = F_a + F_b b) R = F_a - F_b

R = 30 + 50 R = 30 - 50

R = 80 N R = - 20 N

(tanda – menyatakan arah R sama dengan Fb)

(source : pelajaransains.blogspot.co.id)

2. Vektor V = 200 N dengan arah 60° terhadap arah horizontal.

Tentukan komponen vektor diatas pada sumbu X dan sumbu Y !

Jawab:

Diketahui : V = 200 N

Ditanyakan : V_x = .................. ?

V_y = ................. ?

V_x = V Cos α V_y = V Sin α

V_x = 200 Cos 60° V_y = 200 Sin 60°

V_x = 200 . 0,5 V_y = 200 0,87

V_x = 100 N V_y = 173.20 N

3. Vektor P, Q dan S berturut-turut 200 N, 300 N dan 400 N dan arahnya 30° , 150° dan 210° . Tentukan resultan dari ketiga vektor !

Diketahui : P = 200 N

Q = 300 N

S = 400 N

Ditanyakan : R = ... ?

Untuk menghitung Resultan vektor yang lebih dari 2 vektor lebih mudah menggunakan tabel seperti di bawah :

(source : pelajaransains.blogspot.co.id)

B. Menguraikan Besaran Vektor

Perhatikan vektor P pada gambar di bawah !

Arah vektor P ke samping kanan tapi menanjak, vektor ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu (Px) terhadap sumbu x dan (Py) terhadap sumbu y seperti pada gambar.

(source : pelajaransains.blogspot.co.id)

Contoh 1

Sebuah vektor P mempunyai besar 400 satuan dengan arah membentuk sudut 30 ˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor di atas pada sumbu X dan pada sumbu Y ?

Diketahui : P = 400 satauan

α = 30˚

Ditanya : Px = ?

Py = ?

a. Px = P Cos α b. Py = P Sin α

Px = 400 Cos 30˚ Py = 400 Sin 30˚

Px = 400 . 0,5√3 Py = 400 . 0,5

Px = 200 √3 satuan Py = 200satuan

Contoh 2

Komponen dari vektor A pada sumbu X adalah 300 satuan. Bila vektor A mengapit sudut 60˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor A pada sumbu Y dan berapa pula besar vektor A tersebut ?

Diketahui : Ax = 300 satuan

α = 60˚

Ditanya : Ay = ?

A = ?

a. A_x = A Cos α b. A² = (A_x)²+ (A_y)²

300 = A Cos 60˚ 600² = 150² + (A_y)²

300 = A . 0,5 360000 = 22500 + (A_y)²

A = 300 / 0,5 (A_y)² = 360000 - 22500

A = 600 satuan (A_y)² = 337500

A_y = √337500 satuan

C. Perkalian Besaran Vektor

1. Dot Produck (Perkalian vektor dengan vektor hasilnya skalar)

Misalnya F(vektor gaya) dan S (vektor perpindahan), Jika kedua vektor di atas dikalikan hasilnya akan berupa sebuah sekalar yaitu W (Usaha). Secara Matermatika Dot Produck dapat ditulis :

V₁ . V₂ = V₁.V₂ Cos α

2. Kros Produck (perkalian vektor dengan vektor hasilnya vektor)

Misalnya F (vektor gaya) dan R (vektor posisi), jika kedua vektor tersebut dikalikan hasilnya akan berupa sebuah vektor baru yaitu τ (Momen Gaya). Secara Matematika perkalian Kros Product dapat ditulis sbb :

V₁ x V₂ = V₁.V₂ Sin α

Arah dari hasil perkalian vektor dengan cara kros product dapat ditentukan dengan aturan putaran skrup, yaitu putaran skrup sama dengan arah putaran vektor melalui sudut terkecil sedangkan arah gerakan skrup menyatakan arah vektor yang dihasilkan dari perkalian kros product.

3. Perkalian vektor dengan sebuah bilangan
a . V = a V

Selamat belajar
Source : pelajaransains.blogspot.co.id

Sabtu, 09 Desember 2017

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

Pada artikel kali ini akan akan dijelaskan cara menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

1. Sistem Persamaan Linear

a. Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Benjtuk umum persamaan linear satu variabel adalah:

ax + b = c, dengan a ≠0

b. Persamaan linear dua veriabel adalah persamaan linear yang mengandung variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel:

ax + by = c, dengan a ≠0 dan b≠0

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua veriabel adalah sistem persamaan yang menandung paling sedikit sepasang (dua buah) persamaan linear dua vartiabel yang hanya mempunya satu penyelesaian.Sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis sebagai berikut:

$a_1x + b_1 y = c_1$

` $a_1x + b_1 y = c_1$

dengan $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2 dan c_2 \epsilon R$

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan metode-metode di bawah ini:
a. Metode grafrik
b. Metode subtitusi
c. Metode eliminasi
d. Metode eliminasi-subtitusi

a. Metode Grafik

Metode grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya. Langkah-langkah menggambar grafik:
Menggambar grafik masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesisus dengan menggunakan metode titik potong sumbu Bila kedua garis berpotongan pada sebuah titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu {(x,y)}. Bila kedua garis itu sejajar (tidak berpotongan) maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota, yaitu {} (himpunan kosong) Bila kedua garis itu berimpit, maka himpanan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak banyak hingganya.

Contoh soal (EBTANAS 2000)
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan : $\left\{\begin{matrix} 2x+y = 5 \\ 3x - 2y = -3 \end{matrix}\right.$
Nilai x + y sama dengan .....
A. 6      B. 4      C. -2      D. -6      E. -8

Pembahasan:
Grafik persamaan garis 2x + y = 5
* Titik potong dengan sumbu x, maka y = o
   2x + 0 = 5
   <=> 2x = 5
   <=> x = 5/2
   Titik potongnya (5/2 , 0)
* Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
   2(0) + y = 5 <=> y = 5
   Titik potong (0,5)
Grafik persamaan garis 3x - 2y = -3
* Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0
   3x - 2(0) = -3
   <=> x = -1
   Titik potong (-1,0)
* Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
   3(0) - 2y = -3
   <=> y = 3/2
   Titik potong (0, 3/2)
Garis 2x + y = 5 dan garis 3x - 2y = -3 berpotongan di titik (1,3) yang berarti x = 1 dan y = 3.
Jadi, x + y = 1 + 3 = 4 --------> Jawaban: B. 4

b. Metode Subtitusi

Metode subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan lain. Langkah-langkah menggunakan metode subtitusi:
Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebegai fungsi xSubtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan : $\left\{\begin{matrix} 4x + y = 12 \\ 2x + y = 8 \end{matrix}\right.$ adalah . . . . .
A. {(2,2)} B. {(2,4)} C. {(4,2)} D. {(1,2)} E. {(2,1)}

Pembahasan:
Dari persamaan 4x + y = 12 <=> y = 12 - 4x .......(1)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan 2x + y = 8, diperoleh:
2x + (12 - 4x) = 8
<=> 2x + 12 - 4x = 8
<=> -2x = 8 - 12
<=> -2x = -4
<=> x = 2
Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan (1) diperoleh:
y = 12 - 4(2)
y = 12 - 8
y = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,4)} -----> Jawaban: B

c. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode eliminasi:
1. Perhatikan koefisien x (atau y)
a. Jika koefisiennya sama:
i) Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama
ii) Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah sebelumnya.
2. Lakukan kembali langkah (1) untuk mengeliminasi variabel lainnya.

Contoh soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} 7x + 5y = 2 \\ 5x + 7y = -2 \end{matrix}\right.$ adalah {(p.q)}. Nilai p - q = .....
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 E. -2

Pembahasan:
Mengeliminasi variabel x
7x + 5y = 2 |x5| 35x + 25y = 10
5x + 7y = -2 |x7|  35x + 49y = -14 -
                                    -24y = 24
                                         y = -1
Mengeliminasi variabel y
7x + 5y = 2 |x7| 49x + 35y = 14
5x + 7y = -2 |x5|  25x + 35y = -10 -
                                     24x = 24
                                         x = 1
Himpunan penyelesaiannya {(p,q)} = {(-1,1)}
Nilai p - q = 1-(-1) = 2 --------> Jawaban: D

d. Metode Eliminasi-Subtritusi

Metode eliminasi-subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode elminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua.

Contoh Soal:
Di sebuah toko, Rabil membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan hargar Rp 4000,- Mazlan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9.500,- Alif ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga....

Pembahasan:
Misal: Barang A = A dan Barang B = B
Diketahui:
Rabil => 4A + 2B = 4000 <=> 8A + 4B = 8000
Mazlan => 10A + 4B = 9500
Alif => A + B = .....?
Dengan menggunakan eliminasi:
8A + 4B = 8000
10A + 4B = 9500 -
<=> -2A = -1500
<=> A = 750
Subtitusi nilai A = 750 ke salah satu persamaan, diperoleh:
4(750) + 2B = 4000
<=> 3000 + 2B = 4000
<=> 2B = 1000
<=> B = 500
Maka A + B = 750 + 500 = 1.250
Jadi, harga sebuah barang A dan sebuah barang B adalah Rp 1.250,-

*)Ilmuku duniaku

PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat merupakan bentuk persamaan yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Bentuk umumnya adalah $y = ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ , a, b, dan c adalah koefisien dan x merupakan variabelnya.

Contoh: $x^2 + 5x + 6$ , $2x^2 - 3x + 4$ , dan sebagainya.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar maksudnya adalah nilai $x$ yang membuat $ax^2 + bx + c$ hasilnya sama dengan 0. Sebagai contoh, jika $x=k$ membuat $ak^2 + bk + c =0$ , maka $k$ disebut sebagai akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ .

Untuk menentukan akar-akar, ada tiga metode yang biasa digunakan, yaitu metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan metode rumus abc. Namun metode melengkapkan kuadrat sempurna jarang atau cukup sulit untuk digunakan dalam menentukan akar-akar, sehingga tidak akan dibahas di pembahasan ini.

Metode Pemfaktoran

Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ diubah menjadi $a(x - x_1)(x-x_2)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$ .

Misalkan kita ingin memfaktorkan $ax^2 + bx + c = 0$ .

Cara memfaktorkannya adalah:

Pertama, carilah dua bilangan, misalnya $p$ dan $q$ , sehingga jika dijumlahkan, hasilnya adalah $b$ , sedangkan jika dikalikan, hasilnya adalah $ac$ . Dengan kata lain, $p + q = b$ dan $p \cdot q = a \cdot c$ .

Jika $a = 1$ , maka bentuk pemfaktorannya adalah $(x+p)(x+q)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x+p = 0 \Longrightarrow x = -p$ atau $x+q = 0 \Longrightarrow x = -q$ .

Jika $a \neq 1$ , maka bentuk pemfaktorannya adalah $a (x + \frac{p}{a})(x + \frac{q}{a}$ , sehingga akar-akarnya adalah $x+ \frac{p}{a} = 0 \Longrightarrow x = - \frac{p}{a}$ atau $x+ \frac{q}{a} = 0 \Longrightarrow x = - \frac{q}{a}$ .

Contoh:

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat (a) $x^2 - 5x + 6 = 0$ dan (b) $6x^2-x-15=0$ .

Jawab:

(a):
$a = 1, b = -5$ dan $c = 6$ . Cari dua bilangan, $p$ dan $q$ , sehingga $p + q = -5$ dan $p \cdot q = 6$ .

Kedua bilangan tersebut adalah $p=-3$ dan $q = -2$ , karena $-3 + (-2) = -5$ dan $-3 \cdot -2 = 6$ .

Maka pemfaktorannya adalah $(x + (-3))(x + (-2)) = 0$ atau $(x-3)(x-2)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x - 3 = 0 \Longrightarrow x_1 = 3$ atau $x - 2 = 0 \Longrightarrow x_2 = 2$ .

(b):
Sama dengan (a), cari $p$ dan $q$ sehingga $p+q = -1$ dan $p \cdot q = a \cdot c = -90$ .

Maka didapat $p = -10$ dan $q = 9$ .

Maka pemfaktorannya adalah $6(x - \frac{10}{6})(x + \frac{9}{6}$ , sehingga akar-akarnya adalah $x - \frac{10}{6} = 0 \Longrightarrow x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ atau $x + \frac{9}{6} = 0 \Longrightarrow x_2 = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2}$ .

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x_1 = \frac{5}{3}$ atau $x_2 = - \frac{3}{2}$ .

Metode Rumus ABC

Tidak semua bentuk persamaan kuadrat dapat difaktorkan. Sebagai contoh, kita tidak dapat memfaktorkan bentuk $x^2 - 3x + 1 = 0$ di mana tidak ada bilangan bulat $p$ dan $q$ yang memenuhi $p+q = -3$ dan $p \cdot q = 1$ .

Hal ini karena akar-akar persamaan tersebut bukanlah berbentuk bilangan bulat atau bilangan rasional, tetapi bilangan irrasional. (Baca juga: bentuk akar).

Untuk menentukan akar-akarnya, kita dapat menggunakan rumus abc berikut:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

Jadi, akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dan $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

$b^2 - 4ac$ di atas disebut dengan diskriminan (D).

Contoh: Tentukanlah akar-akar dari $x^2 - 3x + 1 = 0$ .

Jawab:
$a = 1, b = -3$ , dan $c = 1$ , sehinga dengan menerapkannya pada rumus abc di atas, kita dapat:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$ .

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ .

Berarti akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ dan $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pada contoh-contoh di atas, kita melihat terdapat dua buah akar-akarnya, dan keduanya merupakan bilangan riil. Namun ada kalanya suatu persamaan kuadrat hanya mempunyai satu akar riil (akar-akarnya kembar), atau bahkan tidak mempunyai akar-akar riil.

Sebagai contoh, $x^2-4x+4=0$ jika kita faktorkan akan menjadi $(x-2)(x-2) = (x-2)^2 = 0$ , sehingga akar-akarnya hanyalah $x = 2$ .

Sedangkan $x^2 + 4x + 5 = 0$ tidak lah mempunyai akar-akar riil. Perhatikan penjabaran berikut ini:

Bentuk di atas kita ubah menjadi: $x^2 + 4x + 4 + 1 = 0$ .

$\Longleftrightarrow (x+2)^2 + 1 = 0$ .

Perhatikan bahwa kuadrat dari setiap bilangan riil pasti lebih besar atau sama dengan 0, dengan kata lain, $(x+2)^2 \geq 0$ , sehingga $x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1 > 0$ .

Artinya, tidak ada bilangan riil $x$ yang memenuhi persamaan tersebut.

Naahh, untuk mengetahui apakah suatu persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil, satu akar riil (kembar), atau tidak mempunyai akar-akar riil, kita dapat melihat Diskriminan nya (D), yaitu $D = b^2 - 4 ac$

Jika $D > 0$ , maka kedua akarnya riil dan berlainan .

Jika $D = 0$ , maka kedua akar-nya kembar (satu akar riil).

Jika $D < 0$ , maka kedua akarnya tidak riil (imajiner).

Contoh:
Jika diketahui bahwa $4x^2 - 20x + p = 0$ mempunyai satu akar riil, tentukanlah nilai $p$ .

Jawab:
Karena hanya mempunyai satu akar riil, berarti $D = 0$ .
Dengan demikian, $D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot p = 0$ .

$\Longleftrightarrow 400 - 16p = 0$ .

$\Longleftrightarrow 16p = 400 \Longrightarrow p = 25$ .

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 25$ .

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , maka berlaku hubungan:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$ .

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Contoh:
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar dari $3x^2 + 15x + 10 = 0$ , tentukanlah nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ .

Jawab:
Persamaan kuadrat di atas tidak bisa difaktorkan, jadi akar-akarnya berbentuk bilangan irasional, yang mana menjadi sulit bagi kita untuk menghitung nilai $x_1^2 + x_2^2$ .

Namun, kita tidak perlu menghitung satu-satu berapa nilai dari $x_1$ dan $x_2$ , tapi bisa menghitung langsung nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ , dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.

Perhatikan bahwa $x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ .

Dari rumus di atas kita dapat: $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-15}{3} = -5$ dan $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{10}{3}$

Dengan demikian, $x_1^2+x_2^2 = (-5)^2 - 2 \cdot \frac{10}{3}$ .

$\Longleftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 25 - \frac{20}{3} = 18 \frac{1}{3}$ .

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Kita dapat menyusun sebuah persamaan kuadrat baru dari informasi akar-akarnya. Jika akar-akarnya adalah $p$ dan $q$ , maka persamaan kuadrat barunya adalah:

$x^2 - (p+q)x + pq = 0$ .

Contoh:

Contoh: Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan 5 adalah $x^2 - (3+5)x + 3 \cdot 5 = 0$ .

$\Longleftrightarrow x^2 - 8x + 5 = 0$