MENCARI RESULTAN DENGAN PENJUMLAHAN VEKTOR

VEKTOR

BESARAN VEKTOR

A.    Menjumlahkan Besaran vektor

a.      Secara Grafis

1.      Metode Poligon

Penjumlahan vektor menggunakan cara poligon dilakukan dengan  menggambarkan  vektor-vektor yang garis nya digabungkan secara berurutan (diteruskan). Kemudian Vektor jumlahnya (Resultannya) digambarkan dengan menarik garis dari titik awal menuju titik akhir. (seperti pada gambar)

(Source : pelajaransains.blogspot.co.id)

2.      Metode Jajaran genjang

Penjumlahan vektor menggunakan metode jajaran genjang dibuat dengan cara menggambarkan garis-garis vektor yang akan digabungkan dari titik awal yang sama, kemudian buatlah garis yang sejajar dengan vektor (dibuat dengan garis putus-putus) diambil dari kedua ujung vektor yang digabungkan sehingga didapat titik potong dan membentuk jajar genjang. Tahap terakhir gambarlah Vektor Jumlah (resultan) nya dengan menarik garis dari titik awal menuju titik potong garis yang dibuat putus-putus titik. (seperti pada gambar di bawah) 

 (Source: pelajaransains.blogspot.co.id)

b.      Secara Analitis (Perhitungan)

1.      Jika arah vektornya sama

Resultan vektor yang memiliki arah sama dapat langsung dihitung dengan cara menjumlahkan besar dari masing-masing vektor yang digabungkan.

                        R  = V₁  +  V₂
 

2.      Jika arah vektornya berlawanan

Resultan vektor yang memiliki arah saling berlawanan dihitung dengan cara mencari selisih nilai dari kedua vektor yang digabungkan.

                        R  = V₁  -  V₂

3.      Jika vektornya membentuk sudut tertentu

Resultan atau jumlah dari vektor yang arah vektornya membentuk sebuah sudut tertentu dapat dicari menggunakan rumus di bawah ini:

Contoh Soal :

Dua buah gaya memiliki nilai dengan besar masing-masing 30 N dan 50 N. Berapa resultan kedua vektor tersebut jika :

a.       kedua vektor searah !

b.      kedua vektor berlawanan arah !

c.       kedua vektor saling mengapit sudut 60° !

Jawab

Diketahui :                  F_a = 30 N

                                   F_b = 50 N

Ditanyakan :    a) R = ? (searah)

                       b) R = ? (berlawanan arah)

                       c) R =  ?  α = 60°

a)      R = F_a  +  F_b                                        b) R = F_a  -  F_b

R = 30  +  50                                                      R = 30  -  50          

R =  80 N                                                            R = - 20 N

                                            (tanda – menyatakan arah R sama dengan Fb)

(source : pelajaransains.blogspot.co.id)

       2. Vektor V = 200 N dengan arah 60° terhadap arah horizontal.

     Tentukan  komponen vektor diatas pada sumbu X dan sumbu Y !

Jawab:
     
Diketahui :      V = 200 N

Ditanyakan :    V_x = .................. ?

                       V_y = .................  ?

                        V_x  =  V Cos α                                                V_y  =  V Sin α

                        V_x  =  200 Cos 60°                                          V_y  =  200 Sin 60°

                        V_x  =  200 . 0,5                                                V_y =  200 0,87

                        V_x  =  100 N                                                    V_y  =  173.20 N

3. Vektor P, Q dan S berturut-turut  200 N, 300 N dan 400 N dan arahnya 30° , 150° dan 210°  . Tentukan resultan dari ketiga vektor !

Diketahui :      P = 200 N

                        Q = 300 N

                        S = 400 N

Ditanyakan :    R = ... ?

Untuk menghitung Resultan vektor yang lebih dari 2 vektor lebih mudah menggunakan tabel seperti di bawah : 

(source : pelajaransains.blogspot.co.id)

B.    Menguraikan Besaran Vektor

Perhatikan vektor P pada gambar  di bawah !

Arah vektor P ke samping kanan tapi menanjak, vektor ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu (Px) terhadap sumbu x dan (Py) terhadap sumbu y seperti pada gambar.

(source : pelajaransains.blogspot.co.id)

Contoh 1

Sebuah vektor P mempunyai besar 400 satuan  dengan arah membentuk sudut 30 ˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor di atas pada sumbu X dan pada sumbu Y ?

            Diketahui  :     P = 400 satauan

                                  α = 30˚

            Ditanya    :     Px = ?

                                   Py =  ?

            a.         Px = P Cos α                                       b.         Py = P Sin α

                        Px = 400 Cos 30˚                                            Py = 400 Sin 30˚

                        Px = 400 . 0,5√3                                              Py = 400 . 0,5

                        Px = 200 √3 satuan                                         Py = 200satuan

Contoh 2

Komponen dari vektor A pada sumbu X adalah 300 satuan. Bila vektor A mengapit sudut 60˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor A pada sumbu Y dan berapa pula besar vektor A tersebut ?

            Diketahui :      Ax = 300 satuan

                                    α = 60˚

            Ditanya :         Ay =  ?

                                  A   = ?

            a.         A_x        = A Cos α                                            b.         A² = (A_x)²+ (A_y)²

                        300      = A Cos 60˚                                                    600²     = 150² + (A_y)²  

                        300      = A . 0,5                                                          360000 = 22500 + (A_y)²

                        A         = 300 / 0,5                                                       (A_y)²    = 360000 - 22500

                        A         = 600 satuan                                                    (A_y)²    = 337500

                                                                                                             A_y       = √337500 satuan

 

C.    Perkalian Besaran Vektor

1.      Dot Produck (Perkalian vektor dengan vektor hasilnya skalar)

      Misalnya F(vektor gaya) dan S (vektor perpindahan), Jika kedua vektor   di atas dikalikan hasilnya akan berupa sebuah sekalar yaitu W (Usaha). Secara Matermatika Dot Produck dapat ditulis :

                                          V₁ . V₂   =   V₁.V₂  Cos α

2.      Kros Produck (perkalian vektor dengan vektor hasilnya vektor)

      Misalnya F (vektor gaya) dan R (vektor posisi), jika kedua vektor tersebut dikalikan hasilnya akan berupa sebuah vektor baru yaitu  τ (Momen Gaya). Secara Matematika perkalian Kros Product dapat ditulis sbb :

                                          V₁  x  V₂   =   V₁.V₂  Sin α

Arah dari hasil perkalian vektor  dengan cara kros product dapat ditentukan dengan aturan putaran skrup, yaitu putaran skrup sama dengan arah putaran vektor melalui sudut terkecil sedangkan arah gerakan skrup menyatakan arah vektor yang dihasilkan dari perkalian kros product.

3.      Perkalian vektor dengan sebuah bilangan
       a . V  =   a V

Selamat belajar
Source : pelajaransains.blogspot.co.id